Teil 1 dieses Beitrages gab eine Übersicht über einige Kartenprojektionen mit ihren Besonderheiten. Erst mit der Kenntnis über die Besonderheiten, die die verschiedenen Projektionsarten mit sich bringen, kann man bei Karten kleiner Maßstäbe hinreichend genau die Richtung und Entfernung von Punkten ermitteln.
Berechnungen und was zu beachten ist.
Bei kleinen Maßstäben, also bei der Darstellung von Kontinenten oder der Erde, wie sie ja für DX-ing interessant sind, lassen sich gewisse Regeln anwenden, um den Fehler zumindest klein zu halten.
Eine Möglichkeit ist das rechnerische Ermitteln der Richtung und Entfernung mit geografischen Koordinaten. Diese sind, wenn nicht bereits bekannt, bei manchen Kartenwerken zu jedem Ort im Inhaltsverzeichnis angegeben, ansonsten sind sie aus dem Koordinatennetz der betreffenden Karte herauszulesen, dazu später mehr. Flächentreue Karten erfordern dazu etwas Augenmaß, es muss teils zwischen den bogenförmigen Längengraden und den sich ändernden Breitengradabständen interpoliert werden. Nur bei großen Maßstäben kann aufgrund der geringen Verzerrung des Kartenausschnittes wie bei Karten mit parallelen Koordinatenlinien verfahren, also direkt mit dem Lineal abgegriffen werden. Wem das Schätzen eines Koordinatenpunktes zu ungenau erscheint, hat noch die Möglichkeit, den Punkt rechnerisch zu ermitteln. Folgende Formel erfüllt diese Aufgabe:
| L = Lu + (( a / s ) * ( Lo – Lu )) | |
| Dabei sind: (siehe Abbildung) | |
| L | = gesuchter Längengrad |
| Lu | = unterer Längengrad |
| Lo | = oberer Längengrad |
| a | = Abstand zu Lu |
| s | = Abstand zwischen Lu und Lo |
Bild 4: Parameter der rechnerischen Interpolation
Beispiel: a = 10 mm, s = 26 mm auf der Karte gemessen (Maßstab ist dabei unbedeutend)
L = Lu+ (( 6° / 26 ) * ( 7° – 6° )) = 6° + 0,385 * 1° = 6,385° = 6° 23’
Sind die Koordinaten beider Punkte (hier mit A und B bezeichnet) bekannt, kann die Entfernung zunächst in Bogenlänge mit folgender Formel errechnet werden:
cos a = sin A * sin B + cos A * cos B * cos DL
Dabei ist a der Winkel der Orthodrome zwischen Punkt A und B, DLdie Differenz der Längengrade sowie A und B die Breitengrade der gleichnamigen Punkte. Die Umrechnung des Ergebnisses in Kilometern erfolgt mit:
d= 111 * a
mit der Distanz d in km.
Die Senderichtungen errechnen sich von A nach B mit:
sin RA-B = cos B * sin DL/ sin a
und von B nach A mit:
sin RB-A = cos A * sin DL/ sin a
Die Breitengrade für A und B werden für die südliche Halbkugel mit negativem Vorzeichen versehen. Beispiel:
| Station A: | Köln | 50,56° N | 6,57° E |
| Station B: | London | 51,31° N | 0,06° W |
DL= 6,57° + 0,06° = 6,63°
ACHTUNG: (London hat westliche Länge: DL= LA + LB. Bei östlicher Länge wäre DL= LA – LB)
cos a = sin 50,56° * sin 51,31° + cos 50,65° * cos 51,31° * cos 6,63° = 0,99725
Weil a = arccos (cos a) = 4,24 ist, ergibt sich für die Entfernung:
d= 111 * 4,24 = 471 km
Die Richtungen der Sender zueinander in Grad von A nach B sind:
sin RA-B = cos 51,31° * sin 6,63° / sin 4,24 = 77,47°
und von B nach A:
sin RB-A = cos 50,56° * sin 6,63° / sin 4,24 = 82,77°
Und die Winkeldifferenz:
DR = RA-B – RB-A = 82,77° – 77,47° = 5,3°
Ausgehend von Punkt A liegt Punkt B in westlicher Richtung. Westen entspricht 270 Grad auf der Gradskala, Osten 90 Grad.
Mit DRerrechnet sich endlich die Richtungsgradzahl für beide Richtungen:
Von A nach B mit: 270° + 5,3° = 275,3°
Von B nach A mit: 090° + 5,3° = 095,3°
Auf der Karte maß ich eine Entfernung von etwa 477 km. Der Fehler ist also vernachlässigbar, zumal der Öffnungswinkel selbst stark bündelnde Antennen bei Kurzwellenverbindungen ohnehin erst bei wesentlich weitere Entfernung an Bedeutung gewinnt. Aber gerade dann wird der Fehler beim Abgreifen aus der Karte auch größer und die Problematik wird erkennbar. Auch die Abweichung der Erde von der reinen Kugelgestalt macht es mit diesen einfachen Mitteln unmöglich, genauere Werte zu ermitteln.
Bei einer Verbindung von London nach Anchorage errechnet sich eine Entfernung von 7.205 km, wobei auf der Weltkarte eines Atlas des Maßstabes 1:75 Mio. eine Entfernung von 10.575 km gemessen wird. Würde man die Antenne nach dem abgegriffenen Wert ausrichten, könnte man sich wundern, weshalb sich QSO-Partner von einem anderen Kontinent melden. Und dabei lag dieser Messung eine Karte zugrunde, in der schon, sozusagen als Kompromiss, die Längengrade im Bereich der hohen Breiten konvergierten, wenn auch nicht, wie es sein müsste, zu einem gemeinsamen Pol. Bei einer reinrassigen Mercatorprojektion mit seinen parallelen Längengraden, wie sie gerne für Weltkarten im Posterformat Verwendung finden (traurigerweise meist auch – und gerade – sogenannte „Radio Amateur world maps”), wäre der Fehler noch deutlich größer. Je näher also am Pol gemessen wird, umso größer wird der Fehler bei der üblichen Darstellungsart einer Weltkarte, da die Längengrade mit zunehmendem Breitengrad überproportional größere Abstände und somit Strecken in Ost-West-Ausrichtung vortäuschen, als sie in Wirklichkeit sind. Üblicherweise enden deshalb die Darstellungen am 80. Breitengrad.
Grafische Ermittlung einer Richtung
Das grafische Ermitteln einer Senderichtung aus einer winkeluntreuen Karte erfordert etwas Vorarbeit. Da es keine parallelliegende Längengradlinien gibt, an denen man an jeder Stelle einen Bezug zum geographischen Norden hätte, muß man erst die Richtung zum Nordpol ermitteln. Dazu verlängert man die Längengradlinien – auch unter Berücksichtigung ihrer Krümmung – nach oben (auf der nördlichen Halbkugel) bis zu deren Schnittpunkt. Achtung: Der Nordpol dürfte meist außerhalb der Karte liegen. Von da aus wird ein Längengrad wieder hinunter durch den Punkt A der Linie A-B gezogen. Zwischen diesem konstruierten Längengrad und der Linie A-B läßt sich jetzt mit der Gradskala eines Geodreiecks der Winkel messen, sofern man dies in Schnittpunktnähe tut. Ansonsten wird auch hier wieder die Erdkrümmung für Abweichung sorgen.
Bild 5: Konstruktion eines Referenzlängengrades, von dem aus sich die tatsächliche Richtung zu einem Punkt B grafisch ermitteln lässt.
Mit der rechnerischen Lösung kann man, mit Ausnahme des Koordinatenabgriffs, alle Interpretationsfehler und Zeichenungenauigkeit umgehen und unabhängig vom Kartentyp zum Ergebnissen kommen.
Bild 6: Auf mittelgroßen Maßstäben oder bei entsprechend kleinen Distanzen auf kleinen Maßstäben hält sich der Fehler in Grenzen.
Welchen Nutzen hat der SWL oder Funkamateur von der Genauigkeit, die wie oben beschrieben zu erzielen ist? Darüber läßt sich gewiss streiten, ist es doch gleich, ob eine DX-Verbindung statt in Wahrheit 471 km statt 477 km ist. Diese Abweichung von 1,3 % relativiert sich jedoch bei einer Verbindung von scheinbaren 10.575 km zur wahren Entfernung von 7.205 km auf 22 % und 3.370 km, wie in obigem Beispiel. Je nach Kartentyp kann sich der Fehler noch verdoppeln. Und wie sehr sich eine Winkelungenauigkeit auf die Entfernungsberechnung auswirkt zeigt sich schon an den Bemühungen professioneller Stellen, die zur Standortermittlung mittels Funkpeiler wenigstens drei Peilungen nacheinander durchführen und die Ergebnisse nach dem Fehlerdreieck mitteln. Man möge sich vorstellen, wie traurig eine Such-und Rettungsaktion enden kann.
Immerhin bedeutet eine Messungenauigkeit des Winkels von nur einem Grad (z.B. gute Bleistiftstärke an der Gradskala eines Geodreicks) auf einer typischen Weltkarte eines Schulatlas mit dem Maßstab 1:90 Mio. in einer Entfernung von 11,1 cm vom Ausgangspunkt entfernt einen Versatz von 2,2 cm abseits der Solllinie. In der Realität entspricht das auf eine Entfernung von 100 km einer Abweichung von 20 km, auf die Entfernung von 10.000 km aber eine Abweichung von 2.000 km. Wird nun noch der Nordpunkt zur Winkelmessung falsch interpretiert, dann wird es selbst für einen Höramateur mit einem sauber ausgeführten Dipol dramatisch: Man zielt so ganz bequem den falschen Kontinent an. Das relativ schmale Empfangsminimum einer Rahmenantenne läßt eine Richtungsbestimmung immerhin auf einige Grad genau zu.
Für den SWL mit rundstrahlender Antenne ist eine Winkel-und Entfernungsermittlung aus der Karte sicher wenig von Bedeutung und die Koordinaten der Sender sind meist schon bekannt.
Für den Funkamateur mit seinen zum Teil unbekannten Destinationen ist der Umgang mit der Karte schon eher von Bedeutung, denn profitieren durch genaue Richtungskenntnisse wird freilich erst derjenige, der z.B. Überreichweiten zu einer bestimmten Station genau erfassen, nutzen und vielleicht auch statistisch auswerten möchte (durch Verfeinerung der Rasterauflösung in der Karte des Zielgebietes). Oder derjenige, der gezielt DX-Verbindungen mit stark bündelnden Antennen herstellen möchte und dazu die genauen Werte zur Einstellungen von Richtung und Elevation zugrunde legt.
Sprach ich gerade von Elevation? Was hat das mit Landkarten zu tun? Klar doch: Und zwar mit Entfernungsmessung. Die Entfernung ist nicht nur in Verbindung mit der Signaldämpfung, sondern auch der Höhe der reflektierenden Ionosphäre interessant, die die toten Zonen und den Ausleuchtungspunkt bestimmen.
Bedenkt man den Endfehler, der das Produkt aus den Einzelfehlern darstellt, ist schon vor der Ausrichtung der Antenne eine möglichst genaue Kenntnis der Richtung und Elevation von Bedeutung. Für kommerzielle Funkdienste gehört das zum täglichen Brot.
