Die Rahmenantenne – Dimensionierung der Spule als Teil des LC-Resonanzkreises

Ziel

Im folgenden soll eine kleine Auswahl von Spulen dimensioniert werden, wie sie unter Berücksichtigung sinnvoller Annahmen als Induktivität in Rahmenantennen verwendet werden können. Mit „sinnvollen Annahmen“ soll gemeint sein, dass hier mit typischen Bauteilen im Falle der Kondensatoren sowie praktisch ausführbaren, geometrischen Verhältnissen im Falle der Spule gerechnet wird. Ziel dieses Berichtes ist keine Bauanleitung, sondern eine abschließende Übersicht, aus der herraus schnell die für das gewünschte Frequenzband erforderliche Windungszahl ermittelt werden kann. Dabei soll nicht jeder theoretische und exotische Fall gerechnet werden, womit auch die Übersichtlichkeit und der praktischen Nutzen der Tabelle steigt.

Man mag einwenden, dass aber im individuellen Fall andere Bedingungen vorliegen als die hier zu Grunde gelegten. Eben demjenigen sei gesagt, dass keine Berechnung die Ergebnisse liefern kann, die sie vielleicht verspricht, denn die individuellen Umstände, etwa örtliche (Tisch hat Metallrahmen oder nicht) wie auch ein nachgeschalteter Impedanzwandler (räumliche Nähe zur Spule, verschiedener Eingangswiderstand) würden ein und dem selben LC-Kreis verschiedene Ergebnisse aufprägen. So soll diese Übersicht auch nur als schnelle Groborientierung dienen. Dass sie aber dennoch praxistaugliche Ergebnisse liefern kann, ergibt sich daraus, dass ein vom LC-Kreis überstrichenes Frequenzband, abhängig vom Variationsbereich des Kondensators, rund das dreifache der unteren Grenzfrequenz überstreicht, also etwa von 540 kHz bis 1700 kHz (Mittelwellenband), von 2,5 MHz bis 8 MHz und immerhin von 8 MHz bis 26 MHz. Interessant ist es deswegen, verschiedene Spulen zu bauen, die sich austauschen lassen (z.B. steckbare Ausführung), um damit durchgängig für Mittelwelle bis zur Kurzwelle gerüstet zu sein. Hier sollte man sich den Luxus leisten, die Frequenzbereiche zu überlappen. Bisher kam es bei meinen Spulen noch nie vor, dass die errechneten Werte so daneben lagen, dass sie nicht innerhalb der Überlappungen wieder aufgefangen wurden. Dazu genügt es, etwa 10 % der angrenzenden Bänder zu überlappen. Vielleicht verzichtet man auch auf wechselbare Spulen, wenn man den Variationsbereich des Kondensators durch Parallelschalten der einzelnen Pakete soweit erhöht, dass der dadurch erweiterte Frequenzbereich den eigenen Anforderungen genügt. Kapazitäten addieren sich, wenn sie parallel geschaltet sind. Damit bietet ein Kondensator in Endstellung mit C_max = 3 x 500 pF = 1500 pF immerhin den Bereich von 0,5 MHz bis 3,5 MHz oder von 4 MHz bis 28 MHz. Das Parallelschalten sollte dann für ein, zwei oder alle drei Pakete schaltbar sein. Eigendlich genügt es für die Praxis, nur zwischen einem und allen drei Paketen zu gewählt, wie in folgendem Bild:

Die Schalterstellung 1 steht für den kleineren Variationsbereich, dafür aber für eine feinfühligere Abstimmung, ähnlich einer Bandspreizung. Stellung 2 findet nur Anwendung, um den Empfangsbereich nach unten hin auszudehnen.

Die folgende Grafik hilft, sich den Verlauf der oberen f_o und unteren Grenzfrequenz f_u bildlich vorzustellen. Sie gilt exakt natürlich nur für bestimmte Eingangsgrößen, behält aber im wesentlichen ihre Form auch bei anderen Werten bei – dehnt oder staucht eigendlich nur die Frequenzachse.

Vorraussetzungen

Wir wollen uns nichts vormachen: In Oszillator- und Eingangskreisen können wir uns solche „Ungenauigkeiten“ nicht leisten. Dennoch herrschen dort prinzipiell die gleichen Gesetze. Trotz der hohen Genauigkeitsanforderungen hinsichtlich der Resonanzfrequenz bleibt einem Bastler dort auch nichts anderes übrig, als erst einmal zu rechnen. Dann allerdings wird die Schaltung wegen der vielen Unwägbarkeiten wie etwa die Streukapazitäten von Bauteilen und Leiterbahnen, Leitungsinduktivitäten und vielen mehr so entwickelt, dass die LC-Kreise vorsorglich mit parallel- und/oder in Reihe geschalteten Trimmern versehen werden, um sie später im eingebauten Zustand auf den Sollwert abstimmen zu können.

Als Kondensator sollte ein Luftdrehkondensator verwendet werden. Gegenüber den Foliendrehkos haben sie den Vorteil der höheren Wiederkehrgenauigkeit, insbesondere durch die Untersetzung und die größere Variationsbreite. Übliche Kapazitätswerte liegen zwischen 15 pF und 40 pF für den unteren C_min und zwischen 330 pF und 500 pF für den oberen C_max Endanschlag. Im Weiteren werden 30 pF und 460 pF (3 x 460 pF = 1380 pF) zu Grunde gelegt. Der C_max wirkt sich bei gegebener Spule auf die untere, C_min auf die obere Frequenzgrenze aus. Dabei ist der obere Wert bei den hier betrachteten Induktivitätswerten der Spule „fast“ nicht von Bedeutung, es sei denn, mann möchte den Langwellenbereich erschließen. Hierzu bietet sich dann aber die Möglichkeit an, die Pakete, von denen Drehkos oft zwei oder drei besitzen, parallelzuschalten und damit die Kapazität zu vergrößern oder Spulen von besonders großem Durchmesser bzw. Windungszahl zu bauen.

Für den Aufbau einer Spule gibt es unzählige Möglichkeiten. Als Spulenkern, auf den der Draht gewickelt wird, bieten sich für kleine KW-Spulen Stücke von Abwasserrohren an, größere Spulen werden auf Holzrahmen gewickelt und schließlich ist für eine Spule mit einer Windung die Ausführung als zum Kreis gebogenes Kupferrohr besonders zweckmäßig.

Auf die konkrete Bauausführung soll hier nicht weiter eingegangen werden. Der prinzipielle Aufbau einer Rahmenantenne sieht so aus:

Es gibt Faktoren, die die Leistungsfähigkeit der Spule beeinflusst, sowohl hinsichtlich der Güte als auch ganz allgemein für die zu erwartende Signalstärke, ohne dass es dabei um die pure Baugröße ginge. Sie seien hier kurz zusammengefasst:

1. Selbstverständlich soll der Spulenträger nicht aus leitfähigem Material bestehen.

2. Zu verwenden ist ein möglichst dicker Draht, um die ohmschen Verluste zu minimieren. Weil er einfach zu beschaffen und preiswert ist, verwende ich flexiblen Installationsdraht mit einem Querschnitt von 1,5 mm² oder größer. Bei einer Spule mit nur drei Windungen sollte man getrost 6 mm² verwenden.

3. Versilberter Draht stellt in dem Zusammenhang das I-Tüpfelchen dar, da in Folge des Skin-Effektes ein höherer Stromfluss im Außenbereich, also dem versilberten Bereich des Leiters herrscht. Und Silber besitzt die höchste Leitfähigkeit aller Metalle.

4. Allgemein der Güte Q, d.h. also besonders der sehr gewünschten Schmalbandigkeit wegen, sollte die Dimensionierung zu einem Rahmen mit möglichst großem Durchmesser und entsprechend wenig Windungen führen. Andersherum erreicht man zwar gleiche Induktivitätswerte, aber die Antenne würde dann an Güte und somit an vorteilhafter Richtungsempfindlichkeit einbüßen. Die Güte Q = f_Res / (f_o – f_u) = f_Res / b_3dB mit der Resonanzfrequenz f_Res und der Bandbreite b, bezogen auf eine Dämpfung von 3dB. Außerdem lässt sich die Empfangsspannung mit dem Spulendurchmesser wirksamer steigern als mit der Windungszahl, da für sie die Rahmenfläche bestimmend ist (die Windungszahl n geht linear, der Durchmesser d quadratisch in die Kreisflächenberechnung A = Pi / 4 * d² ein).

5. Das Verhältnis von Spulenlänge l zu Durchmesser d bestimmt ebenfalls die Spulengüte. Ein Wert von 0,5 oder kleiner wäre ist anzustreben.

6. Ferner gilt es, zwischen den gewickelten Drähten einen Abstand zu lassen, der mindestens dem Drahtdurchmesser entsprichen sollte. Der Grund ist die gegenseitige Stromverdrängung in den Windungen, die zu Verlusten führt. Bei einem Kurzwellen-Rahmen mit wenigen Windungen sollte es immer möglich sein, sogar Abstände eines vielfachen des Drahtdurchmessers zu wickeln, ohne das empfolene Verhältnis von l / d zu überschreiten.

Berechnung

Folgende Formel hat sich zur Beschreibung von Spulen der hier geforderten Größe mit l / d = 0,5 bewährt:

L = (n² * D² / (l + 0,45 * D) * 1000)

Eingesetzt wird der Spulendurchmesser D in mm. Damit erhält man den gängigen Induktivitätswert in µH. Überprüft habe ich den Wert anhand einer Spule mit drei Windungen, einem Durchmesser von 120 mm und einem Windungsabstand von etwa 10 Drahtstärken. Gemessen ergibt sich eine Induktivität von 2,05 µH, nach der Berechnung von 2,36 µH. Bedenkt man die Messungenauigkeiten nicht nur des Messgerätes, sondern auch bei der Ermittlung der Maße mit einem Metermaß und die schon besagten, unvorhersehbaren Einflüsse auf die Spule, darf man die Differenz als vertretbar betrachten. Mit folgenden Formeln errechnen sich die untere und obere Grenzfrequenz in MHz, die vom Kondensator bestimmt wird.

f_u = wurzel(25330 / L * C_max)

f_o = wurzel(25330 / L * C_min)

Eingesetzt werden L in µH sowie C in pF. Damit errechnet sich die Frequenz f in MHz.Die eben genannte Abweichung zwischen berechnetem und gemessenem Induktivitätswert bedeuteten dann für f_u statt den errechneten 5,97 MHz reale 5,18 MHz und für f_o statt 23,4 MHz reale 20,3 MHz, also Abweichungen von 790 kHz unten bzw. 3,1 MHz oben. Dies wird bei mehrspuliger Ausführung wie gesagt durch Überlappung aufgefangen. Für eine einspulige Rahmenantenne wäre gegebenenfalls zu überlegen, den Frequenzbereich durch einen parallel zum Drehko geschalteten Trimmer zur Erweiterung des Frequenzbereiches nach unten oder ein in Reihe geschalteter Trimmer zur Erweiterung des Frequenzbereiches nach oben hinzufügen. Zur Erinnerung: Kapazitäten addieren sich, wenn sie parallel zueinander geschaltet sind, also

C = C₁ + C₂ + …

Bei der Reihenschaltung ist der Kehrwert der Gesamtkapazität gleich der Summe aller Kehrwerte der Einzelkapazitäten, was bedeutet, dass die Gesamtkapazität immer kleiner als die kleinste Einzelkapazität ist:

1 / C = 1 / C₁ + 1 / C₂ + …

oder, wenn es nur zwei Kapazitäten sind

C = (C₁ * C₂) / (C₁ + C₂)

Die Anzahl Windungen soll in der Übersicht auf n = 30 begrenzt und C_max auf den oft anzutreffenden Wert von 460 pF festgelegt sein. Damit wäre auch bei der kleinsten Spule von 120 mm und einem minimalen Windungsabstand von einer Drahtstärke gerade noch das Verhältnis l / d = 0,5 gewahrt. Die Berechnung sieht Spulendurchmesser von 120 mm, 300 mm, 500 mm, 750 mm und 1 m vor.

Ergebnisse

Es zeigt sich, dass sich der Langwellenbereich bei der kleinsten Spule auch mit parallelgeschalteten Kondensatorpaketen nicht erfassen lässt. Hier muss zu größeren Spulendurchmessern gewechselt werden, was ja aber der Güte betreffend ohnehin empfehlenswert wäre. Erst bei einem Durchmesser von einem Meter und mindestens zwei parallelgeschalteten Paketen wird der Langwellenbereich bei 30 Wdg. sicher erfasst. Bei D = 1 m und nur einer Windung wäre die obere Grenze bei dem zu Grunde gelegten C_min = 20 pF dafür nur knapp 23,9 MHz – erreicht also nicht die obere Grenze das Kurzwellenbandes. Je nach Kondensator kann man auf einen geringeren C_max als den hier zu Grunde gelegten hoffen oder, es sei nochmal erwähnt, durch Reihenschaltung mit einem Trimmer. Es ist so, dass C_min sehr empfindlich die obere Grenzfrequenz beeinflusst. Kleinste Änderungen an C_min erzeugen MHz-Sprünge. Ist beispielsweise bei C_min = 20 pF: f_o = 27,6 MHz, wäre er bei 30 pF: 22,5 MHz, aber bei 15 pF: 31,9 MHz (bei D = 750 mm).

Die Spalten „Spule“ stellen nur eine Empfehlung bezüglich der Anzahl von Spulen und den Überlappungen für den Fall dar, dass man den ganzen Kurzwellenbereich mit wechselbaren Spulen abdecken möchte. Hier verweise ich nochmal auf die Möglichkeit der Parallelschaltung von Kondensatorpaketen hin, die entweder bereits die individuellen Wünsche erfüllt oder aber die Anzahl der notwendigen Spulen verringert.

Empfangstechnisch sind insbesondere für die unteren Frequenzbereiche MW und KW1 die größeren Spulen zu bevorzugen. Für die Kurzwellenbereich KW2 und KW3 ist allerdings auch die kleinste Spule bereits gut tauglich, wobei man über 20 MHz generell keine zu hohen Qualitätsansprüche haben sollte. So ist zu überlegen, ob man nicht die Spulen MW, KW1 und KW2 weniger überlappen lässt und so auf KW3 (gegebenenfalls sogar KW2) verzichtet.